해당 카테고리의 포스팅들은 Transform의 이해와 그래픽스의 이해를 돕기위한 글입니다.
수학의 기초가 되는 수와 연산에 대해 알아보자.
1. 수
수에 대해 먼저 알아보자.
수는 크게는 실수와 허수로 이루어져 있다.
실수에는 다음과 같은 집합이 정의된다.
| 자연수 | 양의 정수 |
| 정수 | 자연수 + 0 + 자연수의 음수 |
| 유리수 | 분모가 0이 아닌 두 정수의 비율로 나타낸 수 |
| 무리수 | 분모가 0이 아닌 두 정수의 비율로 나타낼 수 없는 수 |
| 실수 | 유리수와 무리수를 포함하는 수 |
허수는 존재하지 않는 허구의 수라는 의미이다.
허수의 단위는 i로 표현되며, i^2 = -1이라는 특징이 있다.
허수는 실수 범위에서 해를 구할 수 없는 방정식의 해를(ex. x^2 = -1) 표현하기 위해 도입되었다.
허수를 다루는 수에는 복소수와 사원수가 있다.
복소수는 무엇일까?
a+bi 로 정의된다.
a와 b는 실수이며 i는 허수단위이다.
- a는 0이 아니며 b는 0인경우 => 실수
- a는 0이고 b는 0이 아닌경우 => 허수
- a,b모두 0이 아닌 경우 => 복소수
사원수란 무엇일까?
복소수의 확장 개념이다.
a+bi+cj+dk 로 정의된다.
복소수와 마찬가지로 a,b,c,d는 실수이며, i,j,k는 허수 단위이다.
사원수에서 a가 0인 경우는 순허수 사원수라고 부른다.
사원수에 대해서는 추후에 더 다룰 것이기 때문에 간단하게만 짚고 가겠다.
게임을 구성하는 수에는 위와 같은 단위들이 활용 된다.
2. 연산
수집합의 공통점은 원소를 이용해 연산을 한다는 점이다.
우리는 +를 더하기. -를 빼기. × (편의를 위해 * 로 표현하겠다.) 를 곱하기 ÷ (편의를 위해 /로 표현하겠다.) 를 나누기로 규칙을 정했다.
그리고 해당 특수기호를 사용한 연산을 사칙연산이라고 부른다.
이들은 n개의 원소를 연산하여 새로운 원소를 만들어 내므로 다항연상이라고 부른다.
(n이 2개면 이항연산이라고 한다.)
원소를 사용한 결과가 항상 투입한 원소의 집합에 속한다면 그 연산은 해당 집합에 대해 닫혀있다고 표현한다.
이항 연산은 각각의 법칙들을 만족한다.
교환 법칙
a+b = b+a
결합 법칙
(a+b) + c = a+ (b+c)
분배 법칙
a(b+c) = ab + ac
해당 법칙에서 재미있는점을 들어보자면, 뺄셈과 나눗셈은 포함이 되지 않는다는 것이다.
a-b = b-a
a/b = b/a
이 두가지의 사항에서는 법칙이 성립을 하지 않는다.
하지만 빼기와 나누기는 합과 곱으로 정의할 수 있다.
a+(-b) = (-b) + a
a*(1/b) = (1/b)*a
이와 같이 정의된다면 실수에서는 곱과 합으로 법칙들을 정의할 수 있다.
그리고 해당 법칙은 실수 연산에 대해 닫혀있다.
3. 마치며
대수학에서 체 라는 개념이 있다.
체의 공리( 가장 기초적인 근거가 되는 명제(命題). 증명할 필요가 없이 자명하며, 다른 명제들을 증명하는데 전제가 되는 원리 )를 기반으로 수의 합 및 곱, 벡터의 내적 및 외적, 사원수 등으로 확장하여 쌓아가야 공간의 개념을 수학적으로 이해할 수 있다.
체란 사칙연산이 자유롭게 이루어질 수 있는 구조를 의미하며 특정한 공리를 만족해야 한다.
이번 포스팅에서는 실수를 주로 다뤘고 실수에 대한 공리는 총 11가지이다.
환의 모든 공리(8가지)
- 합에 대해 닫혀있다.
- 곱에 대해 닫혀있다.
- 합의 교환법칙을 만족한다.
- 합의 결합법칙을 만족한다.
- 합의 항등원이 존재한다.
- 합의 역원이 존재한다.
- 곱의 결합법칙을 만족한다.
- 분배법칙을 만족한다.
곱의 교환법칙을 만족한다.
곱의 항등원이 존재한다.
0이 아닌 모든 원소에 대해 곱의 역원이 존재한다.
항등원과 역원은 다음과 같다
| 항등원 | 이항연산의 값이 원소의 값이 되는 수 |
| 역원 | 이항연산의 값이 항등원이 나오는 수 |
항등원의 예시
합
a+b = a
∴b = 0
곱
a*b = a
∴b = 1
역원의 예시
합
a+b = 0
∴b = -a
곱
a*b = 1
∴b = 1/a
마치며 체에 대해 간략히 설명한 이유는 벡터에 대해 이해를 하기 위해서는 체의 개념을 인지하고 있어야 하기 때문이다.
많은 내용을 함축하려 하다보니 설명이 부실하거나 뒤죽박죽인 내용들이 많을 수 있다.
댓글로 피드백을 남긴다면 포스팅의 질이 더 좋아질 것이다.
다음 포스팅은 벡터와 선형식에 대한 글로 작성하도록 하겠다.